Dénombrement + nombre premier + carré parfait

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Dénombrement + nombre premier + carré parfait

Message par informix le Dim 14 Sep - 0:06

Rappel du premier message :

wow, admirer cet exrecice :

On considère tous les nombres de 6 chiffres que l'on peut former en permutant les chiffres de 1 à 6.

1) Calculer la somme de ces nombres
2) Trouver le nombre de zéros qui terminent leur produit.
3) Montrer que l'un quelconque de ces nombres n'est ni premier ni carré parfait.

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Re: Dénombrement + nombre premier + carré parfait

Message par libert le Dim 14 Sep - 19:12

de plus comment expliques tu cela : une fois = 4*(4!) = 96
deux fois = 2*(3!) = 12
trois fois = 2*(2!) + (3!) = 10
quatre fois = 2! = 2

je veux dire les as-tu compté un par un ou alors quelle formule utilises-tu ?

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Re: Dénombrement + nombre premier + carré parfait

Message par Napoléon le Dim 14 Sep - 19:20

La clé de la réponse dans ce problème est donnée par cette petite figure :



Elle devrait être déduite d'une "assez longue" recherche et observation. Bravo !!!

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Re: Dénombrement + nombre premier + carré parfait

Message par Sami le Dim 14 Sep - 19:21

les 6iques divisibles une fois par 5 :
Ils se terminent surement par 5 mais pas par 25 (sinon ils seront divisibles 2 fois). Pour le dernier chiffre t'as pas le choix (5), pour l'avant dernier il ne faut pas choisir 2 et 5, donc il y a 4 possibilités (1,3,4,6), et pour le reste des chiffres t'as le choix de ce qui reste (d'où le 4! ).

Presque le même raisonnement pour les 6iques divisibles deux , trois ou quatre fois.
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Re: Dénombrement + nombre premier + carré parfait

Message par Napoléon le Dim 14 Sep - 19:23

Sami a écrit:ben oui. On peut encore vérifier par l'informatique (un programme fait en un langage de programmation pourra confirmer ou infirmer le résultat).

Smile Quel langage (connu) à ton avis te permet de faire des calculs avec des nombres LONGS ? dépassant les 2000 chiffres ??

Il y a des bibliothèques Java et C++ pour faire des calculs avec de grands nombres.
Je ne sais pas si Matlab peut faire l'affaire.

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Re: Dénombrement + nombre premier + carré parfait

Message par Sami le Dim 14 Sep - 19:35

Nabil,
pour trouver cette figure, il faut écrire un nombre n en sa décomposition décimale (genre n = a(n)*10^n + a(n-1)*10^(n-1) + ... +a(1)*10 + a(0) ). n est divisible par 5 ssi a(0)=0 ou a(0)=5. Dans notre cas on prend a(0)=5 car on n'a pas le 0. Puis il faut diviser cette décomposition par 5 (ça donne n/5 = 2*a(n)*10^(n-1) + 2*a(n-1)*10^(n-2) + ... + 2*a(2)*10 + 2*a(1) + 1). Pour que n/5 reste divisible par 5 on voit que a(1) doit être ègale à 2 ou à 7. Le 7 ne nous interesse pas, on continue avec le 2, et on fait la même chose avec n/(5^2)....

En iterant ce procédé, on peut construire l'arborescence précédente.
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Re: Dénombrement + nombre premier + carré parfait

Message par Sami le Dim 14 Sep - 19:37

nabiL a écrit:
Sami a écrit:ben oui. On peut encore vérifier par l'informatique (un programme fait en un langage de programmation pourra confirmer ou infirmer le résultat).

Smile Quel langage (connu) à ton avis te permet de faire des calculs avec des nombres LONGS ? dépassant les 2000 chiffres ??

Il y a des bibliothèques Java et C++ pour faire des calculs avec de grands nombres.
Je ne sais pas si Matlab peut faire l'affaire.

Il y a maple Smile.
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Re: Dénombrement + nombre premier + carré parfait

Message par Napoléon le Dim 14 Sep - 19:38

d'ailleurs c'est ce que j'ai fait pour vérifier cette conjecture. Wink

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Re: Dénombrement + nombre premier + carré parfait

Message par Napoléon le Dim 14 Sep - 19:43

Il y a maple.

Quelle est la longueur max d'un entier en Maple?

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Re: Dénombrement + nombre premier + carré parfait

Message par Sami le Dim 14 Sep - 20:02

nabiL a écrit:
Il y a maple.

Quelle est la longueur max d'un entier en Maple?

Beaucoup Smile. Pas d'idée précise, mais je me rappelle avoir calculer 1000!, et Pi avec 10000 chiffres après la virgule en quelques secondes avec maple. Il donne les réponses exactes (pas d'estimation). C'est impressionnant.
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Re: Dénombrement + nombre premier + carré parfait

Message par Napoléon le Dim 14 Sep - 20:22

Il y a combien de chiffre dans 1000! ??? lol

On va en faire un autre topic ! Wink

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Re: Dénombrement + nombre premier + carré parfait

Message par Sami le Lun 15 Sep - 18:48

Bonjour,
Pour la troisième question :

La réponse complète réside dans cette phrase : " Tout nombre 6ique est divisible par 3 une et une seule fois".

Tout le monde sait qu'un nombre écrit en base décimale est divisible par 9 ssi la somme de ses chiffres est elle aussi divisible par 9. Mais c'est la même chose avec 3 Very Happy . Tout nombre est divisible par 3 ssi la somme de ses chiffres est divisible par 3. En supposant cette proposition correcte, un nombre 6ique est divisible par 3 car la somme de ses chiffres est 21 qui est divisible par 3.

pour ce qui est de la proposition :

soit m appartenant à IN. Sa décomposition décimale est :

m = a(n)*10^n + a(n-1)*10^(n-1) + ... + a(1)*10 + a(0)
= a(n)*(10^n - 1) + a(n-1)*(10^(n-1) - 1) + ... + a(1)*(10 - 1) + ( a(n) + a(n-1) + ... + a(0) )

on a
quelque soit "i" dans [[1,n]] : 3 divise (10^i - 1) = 9999...99 (9 écrit i fois)
donc : [3 divise m] ssi [ 3 divise ( a(n) + a(n-1) + ... + a(0) ) ] qui est la somme des chiffres de m.
Donc tout 6ique est divisible par 3, donc tout 6ique est composé (non premier).

Pour la question du carré parfait, on a:

Si m est un 6ique alors :
m = a(5)*10^5 + a(4)*10^4 + ... + a(1)*10 + a(0) // les a(i) sont dans [[1,6]] et différents deux à deux
= a(5)*(10^5 - 1) + a(4)*(10^(4) - 1) + ... + a(1)*(10 - 1) + 21

donc
m/3 = a(5)*33333 + a(4)*3333 + ... + a(1)*3 + 7

On voit bien que m/3 n'est pas divisible par 3 car tout les opérandes de l'équation différente sont divisible par 3 sauf 7 qui ne l'est pas. On déduit que m n'est divisible qu'une seule fois par 3.

D'aprés le théorème qui dit : " si p est premier et a est carré parfait alors : p divisie a => p^2 divise a " , on déduit que m n'est pas un carré parfait. Donc tous les 6iques ne sont pas des carrés parfaits.

Cordialement,
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Re: Dénombrement + nombre premier + carré parfait

Message par Napoléon le Mar 16 Sep - 12:02

Très correcte comme approche. La seule chose qui embette c'est de penser que c'est la seule approche qui mène vers la solution. Car si c'est le cas, ça ne devrait pas être un très bon sujet de discussion et pause/café mathématique. Smile

Donc, récapitulons:
On vien de montrer que tous les nombres particuliers de l'exercice vérifient certaines propriétés:

1) ils sont tous divisibles par 3, puisque la somme de leurs chiffres est 27.
2) aucun n'est Carré parfait, puisqu'ils s'écrivent sous la forme 3xP où P est un nombre non divisible par 3.

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