Inégalité amusante

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Inégalité amusante

Message par Napoléon le Dim 22 Juin - 23:48

Voici une inégalité facile, mais amusante :

Soit x, y et z trois réels strictement positifs, tels que: 1/x + 1/y + 1/z = 1.

Montrer que (x-1)(y-1)(z-1) >= 8

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Re: Inégalité amusante

Message par Lamice le Lun 23 Juin - 16:23

on a 1/x+1/y+1/z=(yz+xz+xy)/xyz=1
donc yz+xz+xy=xyz
or (x-1)(y-1)(z-1)=xyz-xy-xz-yz+x+y+z-1
=yz+xz+xy-xy-xz-yz+x+y+z-1
=x+y+z-1
M. que x+y+z>=9
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Re: Inégalité amusante

Message par methodiX le Mar 24 Juin - 0:12

Lamice a écrit:on a 1/x+1/y+1/z=(yz+xz+xy)/xyz=1
donc yz+xz+xy=xyz
or (x-1)(y-1)(z-1)=xyz-xy-xz-yz+x+y+z-1
=yz+xz+xy-xy-xz-yz+x+y+z-1
=x+y+z-1
M. que x+y+z>=9

je ne pense pas que c'est le bon chemin Lamice ...

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Re: Inégalité amusante

Message par Napoléon le Jeu 26 Juin - 14:26

Alors, où sont les taupins?

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Re: Inégalité amusante

Message par methodiX le Ven 4 Juil - 13:19

les étudiants du prepa que nous avons dans ce forul sont un peu paresseux Smile

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Re: Inégalité amusante

Message par buddhabar87 le Ven 4 Juil - 22:57

SAlut,

Franchement, je suis un GRAND paresseux, et surtout pour élaborer une inégalité

qui est le fruit d'une """3afsa""" qui est tombée du 7 ème ciel Like a Star @ heaven

Je ne possède aucune idée Evil or Very Mad .

En plus, i don't have enough time. I am always busy (full time job).

Merci What a Face
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Re: Inégalité amusante

Message par Sami le Jeu 11 Sep - 16:36

La moyenne harmonique de x, y et z est :
h = 3 / ( 1/x + 1/y + 1/z)
donc h = 3

La moyenne arithmétique de x, y et z est :
a = ( x + y + z ) / 3

Puisque la moyenne arithmétique est supérieure ou égale à la moyenne harmonique (pour tout ensemble de nombres supérieurs à zéro) on a :
a >= h
équivaut ( x + y + z ) /3 >= 3
équivaut x + y + z >= 9

Avec le raisonnement de Lamice plus haut, l'inégalité est démontrée. CQFD

Pour une démonstration de l'inégalité des trois moyennes (arithmétique >= géométrique >= harmonique) voir :
http://les-mathematiques.u-strasbg.fr/phorum/read.php?f=2&i=338219&t=338219

.
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Re: Inégalité amusante

Message par methodiX le Ven 12 Sep - 3:01

Enfin, tu as démontrer l'inégalité ... bravo !

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