Exercice sur les suites (prépa)

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Exercice sur les suites (prépa)

Message par Napoléon le Lun 8 Oct - 0:38

On m'a proposé l'exercice suivant:

Enoncé a écrit:Soit (an) une suite réelle positive telle que pour tous m,n de IN, on a:
a(m+n) inférieur ou égal à a(m)+a(n),
a(m+n)<= a(m) +a(n)

Montrer que la suite (an/n) converge

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Re: Exercice sur les suites (prépa)

Message par methodiX le Dim 14 Oct - 13:26

On a:
Code:
a(m+n) <= a(m) + a(n), donc:

a(n) <= a(n-1) + a(1)
a(n-1) <= a(n-2) + a(1)
...
...
...
a(1) <= a(1) + a(0).
En additionnant les n inégalités et après simplification, on obtient:
Code:
a(n) <= n.a(1) par suite: a(n)/n <= a(1) ... elle est majorée par a(1).

Il suffit de montrer que a(n)/n est croissante.

affraid confused

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