Vous allez adorer cette limite...

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Vous allez adorer cette limite...

Message par Napoléon le Mar 5 Fév - 13:53

Salut,

je crois que vous allez adorer cette limite (je l'espère en fait)

LIMITE (lorsque n tend vers +oo) DE ([(2n)!] / [n!n^n]) ^(1/n)

Elle résume une bonne partie du programme d'Analyse du BAC/MATH.

Soyez nombreux à participer ....

@+

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Re: Vous allez adorer cette limite...

Message par Invité le Dim 6 Juil - 23:47

y a pas de propositions?? Question scratch

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Re: Vous allez adorer cette limite...

Message par suneddine le Mar 8 Juil - 19:47

j'ai passé beaucoup de temps pour la résoudre mais en vain
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Re: Vous allez adorer cette limite...

Message par Lamice le Mer 9 Juil - 0:51

(n->+°°)lim([(2n)!] / [n!n^n]) ^(1/n)
=(n->+°°)lim([2n(2n-1)...(2n-n+1)/n^n]^(1/n)
=(n->+°°)lim([2n/n].[(2n-1)/n]...[(2n-n+1)/n])^(1/n)
=(n->+°°)lim(2.(2-1/n).(2-2/n)...(2-(n-1)/n))^(1/n)
=(n->+°°)lim exp[(1/n)ln(2.(2-1/n).(2-2/n)...(2-(n-1)/n))]
=(n->+°°)lim exp[(1/n)sum(ln(2-(i-1)/n),i=1..n)
=(n->+°°)lim exp(sum((1/n)ln(2-(i-1)/n),i=1..n)
=1


(n->+°°)lim: limite lorsque n tend vers +°°
sum: somme
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Re: Vous allez adorer cette limite...

Message par silv1 le Mer 9 Juil - 19:57



Le plus petit terme de la somme est ln(2 - (n-1)/n) = ln(1 + 1/n) et le plus grand terme de la somme est ln 2.
La somme comprend n termes donc n ln(1 + 1/n) <= somme <= n ln 2.
donc ln(1 + 1/n) <= somme / n <= ln 2.
1 + 1/n <= exp(somme / n) <= 2.
La limite est donc comprise entre 1 et 2.
Cependant, je ne pense pas que la limite soit 1.

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Re: Vous allez adorer cette limite...

Message par Lamice le Jeu 10 Juil - 13:26

scratch si on fait entrer 1/n dans la somme, chaque terme devient de la forme
[ln(2-i/n)]/n
or (n->°°)lim[ln(2-i/n)]/n= 0 qq i dans [0..n-1]
=> sum->0 par la suite exp(sum)->1 quand n->+°°
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Re: Vous allez adorer cette limite...

Message par silv1 le Lun 14 Juil - 17:09

Mais, c'est une somme infinie de termes qui tendent vers 0, ce qui ne tend pas forcément vers 0, car la somme est infinie. (voir séries numériques)

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Re: Vous allez adorer cette limite...

Message par informix le Mar 15 Juil - 23:14

silv1 a écrit:Mais, c'est une somme infinie de termes qui tendent vers 0, ce qui ne tend pas forcément vers 0, car la somme est infinie. (voir séries numériques)

c'est une erreur classique et très répandue: la somme infinie des termes d'une suite qui tend vers zéro, ne tend pas, en général en zéro !!!

exemple:

1/1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n + ... ===> ça tend vers +oo

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Re: Vous allez adorer cette limite...

Message par cooletzen le Mer 8 Juil - 23:46

ey la solution c'est quoi lol
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