Nombre de diagonales

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Nombre de diagonales

Message par methodiX le Dim 3 Fév - 0:28

Salut,

On a un polygone à n sommets (n>2).
Combien possède-t-il de diagonales ?

exemple:
Si n=3, alors, NDIAG = 0.

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Re: Nombre de diagonales

Message par lamia le Dim 3 Fév - 2:06

En se basant sur la théorie des graphes :



On peut résoudre ce problème en considérant au début ces hexagones comme des graphes complets.

On appelle graphe complet Kn tout graphe ayant tout les nœuds adjacents et le nombre d’arcs sortant de chaque nœud égale au nombre d’arcs moins 1, exemple :




Dans notre cas l’hexagone K3 n’a pas de diagonales.



Pour les graphes on dispose de cette formule : ∑deg(x) = 2e (e étant le nombre d’arcs dans le graphe, x un nœud et deg(x) est le nombre d’arcs adjacent à ce nœud)



Pour les graphes complets :

∑deg(x) = 2e

deg(x1)+ deg(x2) + …+deg(xn)= 2e

(n-1) + (n-1) + …+ (n-1) =2e

n(n-1) =2e



D’où e = (n(n-1))/2



Cette valeur de e qu’on obtient est le nombre total des arcs ( le nombre de cotés de l’hexagone + le nombre des diagonales)



Alors comme résultat final :

NDIAG = 0 pour n = 3

NDIAG = e – n avec n>3
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Re: Nombre de diagonales

Message par methodiX le Dim 3 Fév - 13:35

Très bien développé lamia.
Tu as eu recours un peu à la théorie des graphes ... Tant dis que, à mon avis, il s'agit d'un petit problème de dénombrement.
Ce qui est passionnant en sciences c'est qu'un même problème peut être vu de plusieurs façons différentes. Smile

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Re: Nombre de diagonales

Message par methodiX le Dim 3 Fév - 13:39

On attend toujours d'autres tentatives de résolution.

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Re: Nombre de diagonales

Message par lamia le Dim 3 Fév - 13:49

methodiX a écrit:Très bien développé lamia.

Merci.

methodiX a écrit:Tu as eu recours un peu à la théorie des graphes ... Tant dis que, à mon avis, il s'agit d'un petit problème de dénombrement.

Oui chacun sa facon de resoudre les problemes, pour moi c'est plus facile d'avoir recours à la theorie des graphes qu'au denombrement Very Happy

methodiX a écrit:Ce qui est passionnant en sciences c'est qu'un même problème peut être vu de plusieurs façons différentes. Smile

Si un probleme ne peut etre resolu que d'une seule facon, je suis sure que le nombre de ceux qui peuvent resoudre un probleme quelconque vont diminuer car chacun a sa facon de voir, sa maniére à l'aborder, et ses connaissances en se basant sur son dommaine d'étude ou son domaine d'interet. cheers
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