limite d'une suite réelle

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limite d'une suite réelle

Message par oummary le Mer 29 Avr - 21:12

salut! est ce qu'on peut utiliser le raisonnement par récurrence pour déterminer que la limite d'une suite réelle?je viens de faire un exercice sur les suites réelles les données sont le premier terme U0 ET L'expression de Un+1 en fonction de Un puis il nous demande de montrer qu'elle est croissante puis montrer que la limite est +infinie.merci d'avance

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Re: limite d'une suite réelle

Message par Napoléon le Mer 29 Avr - 21:54

Oui. On peut le faire.

Si Un+1 = f(Un) et Un vérifie certaines conditions (continuité, ...) alors, si Un converge, sa limite L vérifiera f(L) = L.

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Re: limite d'une suite réelle

Message par oummary le Mer 29 Avr - 23:54

j'ai pas vraiment compris surtout ici la limite est +infinie donc il n'ya pas d'image par f

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Re: limite d'une suite réelle

Message par Napoléon le Mer 29 Avr - 23:58

Si la suite est divergente, alors, tu n'auras pas à démontrer que f(L)=L puisque L=+oo.

Poste l'essentiel de l'exercice pour qu'on puisse voir ce qui est demandé.

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Re: limite d'une suite réelle

Message par Napoléon le Jeu 30 Avr - 0:00

Ah OK. J'ai cru que tu veux démontrer par récurrence que Un converge.

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Re: limite d'une suite réelle

Message par Napoléon le Jeu 30 Avr - 0:01

Essaie de chercher une expression qui tend vers l'infini, et qui est toujours majorée par Un...

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Re: limite d'une suite réelle

Message par oummary le Jeu 30 Avr - 8:06

l'expression c'est U(n+1)=U(n)+1/2U(n)+1et U0=1

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Re: limite d'une suite réelle

Message par Napoléon le Jeu 30 Avr - 16:24

U(n+1) = f(U(n)) avec f(x) = x+1/(2x+1).

U est croissante pour la simple raison que f(x) > x pour tout x>0.
Donc U(n+1) > U(n) après avoir montré que U(n) > 0 bien sur.

Supposons que U est convergente vers L, alors L = f(L) ce qui implique que 1/(2L+1) = 0 => impossible. Ce raisonnement montre que U est divergente.

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