Les diviseurs, combien y'a-t-il ?

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Les diviseurs, combien y'a-t-il ?

Message par Sami le Mar 11 Nov - 1:14

Salut,
Je vous propose un joli problème de dénombrement :

Soit n un entier naturel. Soit D(n) l'ensemble des diviseurs de n. Quel est le cardinal de D(n)? (avec démonstration Very Happy)

indice : écrire n sous la forme suivante : n = P1^(a1) * P2^(a2)*.....*Pm^(am)
Avec : P1 , P2 ,...,Pm des nombres premiers distincts deux à deux. C'est la décomposition primaire de n.[/size]
Amicalement.
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Re: Les diviseurs, combien y'a-t-il ?

Message par Napoléon le Mar 11 Nov - 17:06

Je reformule autrement la question pour vérifier si j'ai bien compris :

Soit "n" un entier naturel.

Quel est le nombre de divisieurs de "n" sachant qu'il se décompose en "m" facteurs premiers "P(i)" de la manière suivante:

n = P1^(a1) * P2^(a2)*.....*Pm^(am)

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Re: Les diviseurs, combien y'a-t-il ?

Message par Napoléon le Mar 11 Nov - 19:42

J'ai trouvé une expression du cardinal de l'ensemble. Elle fait intervenir uniquement les "ai"...


Je dois la valider avant de la poster ...

merci pour l'énigme !!!

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Re: Les diviseurs, combien y'a-t-il ?

Message par Napoléon le Jeu 13 Nov - 19:31

Est-ce que vous serez d'accord si on déplace ce sujet vers la rubrique des ENIGMES ?

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Re: Les diviseurs, combien y'a-t-il ?

Message par Napoléon le Jeu 13 Nov - 22:06

Bonh, la "1ère" formule que j'ai trouvée a la forme suivante :

Code:

ND(n) = 1  + (a1 + a2 + .... + am)  +
              (a1a2  + a1a3 + ..... a(m-1)a(m))  +
              (a1a2a3  a1a2a4  .....  a(m-2)a(m-1)a(m))  +
              ..... 
              a1.a2.a3.....am

On prend un exemple:
n = 2x3x5 = 30
ici m = 3, et a1=a2=a3=1, le nombre de diviseurs de 30 est ND(30)=8.

La formule que j'ai proposée donne:
ND(30) = 1 + (1+1+1) + (1x1 + 1x1 + 1x1) + (1x1x1) = 8

Je m'intéresse actuellement à faire une petite recherche sur la simplification de la somme des produits cités dans la formule.

@+

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Re: Les diviseurs, combien y'a-t-il ?

Message par Sami le Jeu 13 Nov - 22:07

Oui pour moi Smile
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Re: Les diviseurs, combien y'a-t-il ?

Message par Napoléon le Jeu 13 Nov - 23:42

Voilà à quoi ont abouti mes calculs (simplification de la formule précédente):

ND(n) = (1+a1)(1+a2)...(1+am)



Wow

Quel plaisir après avoir trouvé cette formule.


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Re: Les diviseurs, combien y'a-t-il ?

Message par Sami le Ven 14 Nov - 17:27

Bravo. Smile

Mais il y a une méthode plus simple :

Un diviseur "d" de "n" s'écrit lui même comme ceci :
d = P1^(b1) * P2^(b2) *.....* Pm^(bm)

Les "Pi" sont différents deux à deux, et quelque soit i dans [[1,m]] , 0<=bi<=ai.

Autrement dit, on choisit un diviseur de "n" en choisissant les "bi" entre zéro et "ai" . Donc pour chaque "Pi" il y a (1+ai) possibilités. Mais puisque on doit choisir un "bi" pour tous les "Pi", on obtient un produit (c'est un ET et non un OU). Donc, le nombre totale de diviseurs est le produit des (1+ai) , i allant de 1 à m .
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Re: Les diviseurs, combien y'a-t-il ?

Message par Sami le Ven 14 Nov - 17:42

Bon, maintenant ça se complique un peu Very Happy :

Soit n un entier naturel. Chercher le cardinal des ensembles suivants :

E2 = { {x,y} / (n = x*y) ET ( (x,y) dans IN²)}
E3 = { {x,y,z} / (n=x*y*z) ET ( (x,y,z) dans IN^3) }
Em = { {x1,x2,...,xm} / (n=x1*x2*...*xm) ET ( (x1,x2,...,xm) dans IN^m) }
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Re: Les diviseurs, combien y'a-t-il ?

Message par Napoléon le Ven 14 Nov - 23:05

A première vue, il y a des discussions à faire dans certains E(i) telles que le cas où ND(n) est pair, ou impair ...

je vais essayer de m'en occuper ...

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Re: Les diviseurs, combien y'a-t-il ?

Message par Napoléon le Lun 1 Déc - 13:01

Soit n un entier naturel. Chercher le cardinal des ensembles suivants :

E2 = { {x,y} / (n = x*y) ET ( (x,y) dans IN²)}
E2' = { (x,y) / (n = x*y) ET ( (x,y) dans IN²)}[/quote]

Etudions d'abord le cas de l'ensemble E' :

n possède ND(n) diviseurs. On les note: {1, d1, d2, ..., dv}.

Pour écrire n sous la forme x . y, il suffit de considérer x comme étant un d(i).

Il existe alors :
Code:
C(ND(n),1) façons de construire x comme produit de 1 d(i).

Soit , il y a ND(n) façons de construire x.

et par suite: Cardinal(E'(2,n)) = ND(n).

Comme x et y jouent deux rôles symétriques, alors,

Si ND(n) est pair alors:
Cardinal(E(2,n)) = Cardinal(E'(2,n)) / 2.

Si ND(n) est impair alors:
Cardinal(E(2,n)) = (1+Cardinal(E(2,n)))/2


Exemple:

DIV(8) = {1,2,4,8} ==> pair
E'(2,8) = {(1,8),(2,4),(4,2),(8,1)}
E(2,8) = {{1,8},{2,4}}
la formule donne Cardinal E'2 = 4 et Cardinal E2 = 2


DIV(9) = {1,3,9} ==> impair
E'(2,9) = {(1,9),(3,3),(9,1)}
E(2,9) = {(1,9),(3,3)}
la formule donne Cardinal E'2 = 3 et Cardinal E2 = 2

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Re: Les diviseurs, combien y'a-t-il ?

Message par Sami le Mar 2 Déc - 1:23

Euuuh, oui bravo. Smile

En fait, j'ai choisi de regrouper les deux formules en une seule :
card(E2) = E ( (1+ card(D(n)))/2) ; "E" pour partie entière.

En plus, j'ai pas mis comme critère la parité de card(D(n)), mais plutôt la quadrature de "n" (n=p² ; p dans IN). Ce qui revient au même en fait. Smile

Enfin, le plus dure reste à venir Very Happy
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