Problème démonstration

Salut tout le monde, j'ai un petit problème dans le domaine des sous-espaces vectoriels engendrés :
1_ Démontrer Vect(F U G) = F + G
je pars de la définition Vect(F U G) = Vect (F) + Vect (G) mais ça ne me donne rien.

2_ F et G deux sous-espaces d'un espace vectoriel E. Montrer que F U G est un sous espace vectoriel de E si et seulement si (F C G) ou (G C F).

Je vous remercie d'avance pour les indices que vous pourrez m'apporter.

1_ Démontrer Vect(F U G) = F + G

Vect(F U G) = Vect (F) + Vect (G)

si F est un sous espace vectoriel de E (E est un espase vectoriel) ==> vect (F) = F
si G est un sous espace vectoriel de E ==> vect (G) = G

d'où Vect(F U G) = F + G

2_ F et G deux sous-espaces d'un espace vectoriel E. Montrer que F U G est un sous espace vectoriel de E si et seulement si (F C G) ou (G C F).

(F C G) ou (G C F) ==> F U G est un sous espace vectoriel de E ??

0(E) € F (car F est un ss-e-v de E) (1)
0(E) € G (car G est un ss-e-v de E) (2)

(1) et (2) ==> 0(E) € F U G ==> F U G est non vide. (I)

soient a,b € IR et x,y € F U G

x,y € F ==> ax+by € F (car F est un ss-e-v de E) (1')
x,y € G ==> ax+by € G (car G est un ss-e-v de E) (2')

(1') et (2') ==> ax+by € F U G. (II)

(I) et (II) ==> F U G est un sous espace vectoriel de E

à noter:
0(E) est l'élément neutre de E
ss-e-v (sous espace vectoriel)

il reste à montrer l'autre sens de l'équivalence.

Quelle est la différence entre :

Code:

V U G


et

Code:

V + G

?

nabiL a écrit:Quelle est la différence entre :

Code:

V U G


et

Code:

V + G

?

L'union n'est pas toujours la somme. Elle est uniquement la somme si F est différent de G.

Merci beaucoup pour tes réponses

F U G est un sous espace vectoriel de E ==> (F C G) ou (G C F) ??

0(E) € (F U G) (car F U G est un sous espace vectoriel de E) (1)
0(E) € F (car F est un sous espace vectoriel de E) (2)
0(E) € G (car G est un sous espace vectoriel de E) (3)

(1), (2) et (3) ==> (F C G) ou (G C F)

ainsi F U G est un sous espace vectoriel de E si et seulement si (F C G) ou (G C F)