Fonctions classe C1, C2, Ck...

Salut,
Un utilisateur "invité" a posé la question suivante:

invité a écrit:
Qu'est-ce qu'une fonction numérique de classe C1? C2? Ck...? et à quoi ça peut être utile le fait de classer les fonctions numériques de cette façon?

La notion de Classe C1, C2 ou Ck (dans le cas général) nous renseigne sur la nature, non seulement de la fonction f, mais aussi de ses dérivées sur un intervalle I donné.

On dit que f est de classe C1 sur I si f est dérivable sur I et si f' est continue sur I.

• On ne peut pas par exemple dire qu’une fonction f est de classe C1 sans préciser l’intervalle sur lequel elle est étudiée. (Erreur fréquente)
• La majorité des fonctions usuelles sont de classe C1.

Soit f une application de I dans IR, k fois dérivalbes. Si de plus sa dérivée kième est continue sur I, on dit que f est de classe Ck sur I.

• Il faut savoir ce que veut dire « f est k fois dérivable sur I». f est dite k fois dérivable sur I si on peut la dériver k fois sur l’intervalle (f dérivable, f’ dérivable, f’’ dérivable, …, f(k-1) dérivable sur I)
• Les fonctions SIN et COS sont de classes Ck sur IR (k entier), car elles sont infiniment dérivables sur IR.
• Les fonctions polynomiales sont infiniment dérivables sur IR (donc de classe C(oo))
• La fonction EXP est infiniment dérivable sur IR.

B.Nabil a écrit:Question : Essayer de trouver des exemples de fonctions qui sont de classe C1 sur I et ne sont pas de classe C2 sur le même intervalle I.

B.Nabil