Equations différentielles du 1er ordre avec 2nd membre

que connaissez-vous des équations différentielles? rien? un peu? alors révisons et appliquons

La Théorie:

La résolution:
quelque soit a dans R* et quelque soit b dans R, résoudre l'équation différentielle du premier ordre, à coefficients constants et avec second membre y'-ay=b revient à déterminer toutes les fonctions f dérivables sur R, telles que quelque soit x, f '(x)-a f(x) = b.
une de ces fonctions est appelée une solution de l'équation différentielle.

La solution:
quelque soit a dans R* et quelque soit b dans R, l'ensemble des solutions de l'équation différentielle du premier ordre, à coefficients constants et avec second membre y'-ay=b est l'ensemble des fonctions f définies sur R par f(x)= £*exp(a*x) - (b/a) où £ est une constante réelle.

petite appliquation 1:

résoudre l'équation différentielle: y'-2y=1

Vous savez pourquoi la solution d'une équation différentielle du 1er ordre y'-ay=b, est

f(x)= £*exp(a*x) - (b/a) où £ est une constante réelle.

Soit l'équation y' = ay, But = chercher la fonction y.
alors, y'/y = a.
Une primitive de la fonction y'/y est LOG(|y|) + cste, où cste est un réel.
Une primitive de a est ax + cste, x réel.
D'où:
LOG(|y|) = ax + b, b est un réel,
càd:
|y| = exp(ax + b) = exp(b) . exp(ax)
Comme b est une constante réelle alors, exp(b) est une constante réelle positive. En éliminant la valeur absolue, on trouve:

y = +/- exp(b) . exp(ax)
C'est équivalent à écrire: y = £ . exp(ax), où £ est un réel.

(à suivre...)

vous avez oublié de faire l'application, la prochaine fois je ne vous accepte au classe qu'avec vos pères

where are you? what's the matter?