Rappel du premier message :

wow, admirer cet exrecice :

On considère tous les nombres de 6 chiffres que l'on peut former en permutant les chiffres de 1 à 6.

1) Calculer la somme de ces nombres
2) Trouver le nombre de zéros qui terminent leur produit.
3) Montrer que l'un quelconque de ces nombres n'est ni premier ni carré parfait.

Je vais m'y pencher ... j'espère trouver un temps continu pour être concentré

Tu as absolument raison Nabil. J'ai foiré dans la partie facile (l'exercice de dénombrement...). En fait il faut mettre des factorielles et non des puissances. J'ai corrigé la faute dans mon poste précédent. Normalement ça doit être juste.

J'ai compris la fin mais pas le début du raisonnement : tu pourrais mieux me la faire comprendre. Je te remercie!

libert fais des copie/coller des parties que tu n'as pas compris, ainsi je pourrai t'aider.

"pour trouver le nombre de zéros qui terminent un nombre, il faut le décomposer en nombres premiers (théorème fondamental de l'arithmétique) et chercher le minimum entre la puissance des 2 et celle des 5. Ce minimum est le nombre de zéros qui terminent ce nombre.
Par exemple : si n = 2^5 * 3^2 * 5^4 * 11 alors le minimum recherché est 4. Donc n se termine avec 4 zéros. n = 1980000.

Dans ce qui suit je nomme :
deux(n) = la puissance de 2 dans la décomposition en nombres premiers de n. (p.e. deux(1980000)=5)
cinq(n) = la puissance de 5 dans la décomposition en nombres premiers de n. (p.e. cinq(1980000)=4)
P = le produit définit par informix.

Dans notre cas le problème est qu'il faut chercher deux(P) et cinq(P). Mais puisque c'est un produit
deux(P) = somme( deux(n) , n appartenant à l'ensemble des nombre définis par informix)
cinq(P) = somme( cinq(n) , n appartenant à l'ensemble des nombre définis par informix)

à ce qui parait deux(P) > cinq(P) (car tout nombre qui finit par 2, 4, 6 est divisible par 2)"
et : "Un autre problème, si n est un nombre 6ique (je le nomme ainsi ba9al taksir krayem!), alors il est divisible par 5 si il finit par 5 (ou par 0, mais y a pas de 0 ici). Mais qui nous dit qu'il n'est pas divisible encore une autre fois par 5 ? (c'est-à-dire divisible par 5^2)."
c'est surtout la définition des "deux(n) " que j'ai pas comprises.

et qu'est ce que le 6ique ?

d'abord, il faut que tu saches que tout nombre peut être divisé en un produit de nombres premiers. C'est le théorème fondamental de l'arithmétique.
deux(n) c'est la fonction qui pour tout entier n, elle te dit combien de fois ce "n" est divisible par 2. Il se trouve que c'est exactement le nombre de 2 que tu trouves dans la décomposition en nombres premiers de n. Par exemple 32 est divisible 5 fois par 2 (pas plus), donc deux(32)=5 . En même temps la décomposition de 32 en nombres premiers est 2^5.
cinq(n) c'est la même chose que deux(n) mais cette fois, il faut diviser avec 5.

J'ai introduit cette notation pour la simple raison que ce sont ces nombres ( cinq(n) et deux(n) ) qui permettent de savoir combien il y a de zéros à la fin de l'écriture de n. Un zéro à la fin se construit par un 5 multiplié par un 2 dans la décomposition de n. Donc il faut chercher combien il y a de couple (2,5) dans la décomposition de n, ce qui est la même chose que chercher le minimum entre deux(n) et cinq(n).
Pour résoudre la deuxième question, on met P (le produit des 6iques) à la place de n.

un nombre 6ique = un nombre à six chiffres qui se construit avec les chiffres de 1 à 6 (c'est pour alléger l'écriture)

J'espère que ça t'aide libert

ouép, mais pour les résultats, quels sont les nombres de la liste divisibles par 3125 ?

non je me plante, je confonds '4 fois divisble par 5 ' et divisible par 3125.
Es-tu absolument certain de tes résultats (juste pour confirmation en fait) ?

ben oui. On peut encore vérifier par l'informatique (un programme fait en un langage de programmation pourra confirmer ou infirmer le résultat).

de plus comment expliques tu cela : une fois = 4*(4!) = 96
deux fois = 2*(3!) = 12
trois fois = 2*(2!) + (3!) = 10
quatre fois = 2! = 2

je veux dire les as-tu compté un par un ou alors quelle formule utilises-tu ?

La clé de la réponse dans ce problème est donnée par cette petite figure :



Elle devrait être déduite d'une "assez longue" recherche et observation. Bravo !!!

les 6iques divisibles une fois par 5 :
Ils se terminent surement par 5 mais pas par 25 (sinon ils seront divisibles 2 fois). Pour le dernier chiffre t'as pas le choix (5), pour l'avant dernier il ne faut pas choisir 2 et 5, donc il y a 4 possibilités (1,3,4,6), et pour le reste des chiffres t'as le choix de ce qui reste (d'où le 4! ).

Presque le même raisonnement pour les 6iques divisibles deux , trois ou quatre fois.

Sami a écrit:ben oui. On peut encore vérifier par l'informatique (un programme fait en un langage de programmation pourra confirmer ou infirmer le résultat).

Quel langage (connu) à ton avis te permet de faire des calculs avec des nombres LONGS ? dépassant les 2000 chiffres ??

Il y a des bibliothèques Java et C++ pour faire des calculs avec de grands nombres.
Je ne sais pas si Matlab peut faire l'affaire.

Nabil,
pour trouver cette figure, il faut écrire un nombre n en sa décomposition décimale (genre n = a(n)*10^n + a(n-1)*10^(n-1) + ... +a(1)*10 + a(0) ). n est divisible par 5 ssi a(0)=0 ou a(0)=5. Dans notre cas on prend a(0)=5 car on n'a pas le 0. Puis il faut diviser cette décomposition par 5 (ça donne n/5 = 2*a(n)*10^(n-1) + 2*a(n-1)*10^(n-2) + ... + 2*a(2)*10 + 2*a(1) + 1). Pour que n/5 reste divisible par 5 on voit que a(1) doit être ègale à 2 ou à 7. Le 7 ne nous interesse pas, on continue avec le 2, et on fait la même chose avec n/(5^2)....

En iterant ce procédé, on peut construire l'arborescence précédente.